動きは数の表

今日から新しい旅を始めよう。題材はチート900（ナインハンドレッド）という蹴り技だ。助走のステップで体をひねりながら跳び上がり、空中でぐるぐる回って、回りながら回し蹴りを当てて着地する。ステップで地面の上を約520°、空中で約1周、合わせて900°（2回転半）回るから「900」と呼ぶ。トップページで跳んでいた棒人間がそれだよ。

それがこの旅の主題なんだ。あの動きを作るときには、矢印の計算、点を回す計算、膝の位置を決める計算、空中で回る速さを決める物理の法則……と、たくさんの数学と物理を使った。この旅では、それを1つずつ自分の手で確かめていく。今日はいちばん土台の話、コンピュータの中で「動き」はどんな形をしているかだ。

「少しずつ違うものを次々に見せる」のはその通り。でも、しまってあるのは絵ではなく数なんだ。体の決まった場所――頭、両肩、両ひじ、両手首、腰の左右、両膝、両足首、かかと、つま先など――に24個の点を決めておき、それぞれの点がどこにあるかを数で書く。それを1秒に60回、時刻を進めながら記録する。1回分を1コマと呼ぶ。チート900は全部で162コマ、時間にして2.7秒だ。

いいところに気づいたね。立体の中の位置は3つの数 (x, y, z) で決まる。部屋の床の1つの角を基準の点（原点）にして、そこから「前へ何 m、上へ何 m、横へ何 m」と言えば、部屋のどこでも1か所に決まるだろう。この旅では、x を進行方向（跳んでいく向き）、y を上、z を的（ミット）のある横の向きにとる。長さの単位はメートル（m）、床の高さが y＝0 だ。

そうだ。肩とひじ、ひじと手首……と決まった点どうしを線で結ぶと棒人間になる。立体を画面という平面に写す計算はいちばん最後のステージで扱うから、今はコンピュータに任せておこう。今日考えたいのは、この表から、どれだけのことが読み取れるかだ。まず、2つの点の「位置の差」を考える。たとえば右膝から右足首へ向かう矢印。

終わりの点の座標から、始まりの点の座標を、x・y・z ごとに引けばいい。膝が (1.20, 0.50, 0.10)、足首が (1.10, 0.10, 0.30) なら、矢印は (1.10−1.20, 0.10−0.50, 0.30−0.10)＝(−0.10, −0.40, 0.20)。「後ろへ 0.10 m、下へ 0.40 m、的の側へ 0.20 m」という意味だ。こうして向きと長さをもった矢印を、数の組で表したものをベクトルという。始まりの点がどこにあっても、同じ向き・同じ長さの矢印は同じベクトルだ。

三平方の定理を2回使えばいい。矢印を対角線とする箱を考えて、まず床に平行な面の中で、x と z の2辺から床の対角線の長さ √(x²＋z²) を出す。その対角線と、高さ y が直角に交わる三角形で、もう一度三平方の定理を使うと、√((√(x²＋z²))²＋y²)＝√(x²＋y²＋z²)。これがベクトルの長さだ。さっきの矢印なら √(0.01＋0.16＋0.04)＝√0.21 ≈ 0.46 m。すねの長さとして、ちょうどいいくらいだね。

そう、それを変位という。1コマは 1/60 秒だから、変位を 1/60 秒で割る、つまり60倍すれば、1秒あたりにどちらへ何 m 進むか――速度になる。速度も向きをもったベクトルで、その長さが、ふだん言う速さ（単位 m/s）だ。

それが加速度だ。1秒あたり速度がどれだけ変わるかで、単位は m/s²（メートル毎秒毎秒）。まとめると、表の数から、位置 → 差をとって60倍 → 速度 → 差をとって60倍 → 加速度と、2段階で計算できる。コマ k の位置を p(k) として式で書くと、次のようになる。

速度を2つ並べて引いてごらん。p(k) が2回引かれるから「−2p(k)」になるんだ。

作った動きが、物理の法則を破っていないかを調べられるんだ。たとえば空中にいる間、体を押したり引いたりできるものは何もない。だから体全体は、投げたボールと同じように重力だけで落ちるはずだ。重力で落ちるものの下向きの加速度は、地球の上ではいつも約 9.8 m/s²。これを重力加速度という。

そこが大事なところだ。手足の1つ1つの点は、体の中の筋肉に押されたり引かれたりするから、自由に動ける。重力だけで落ちるのは、体全体の重さで平均した位置だ。これを重心という。胴は重いから大きく、手先は軽いから小さく効く平均だよ。くわしい計算はステージ6で扱うから、今は「体全体の代表の点」と思っておいてほしい。下の図で、つま先と重心の高さを比べてみよう。

加速度がずっと −9.8 のままなら、速度は一定の割合で減り続け、高さは山なりの曲線、放物線を描く。ボールを投げたときと同じ形だ。実は、この動きを作るときには、空中の区間で重心がきっちり放物線に乗るように、体全体の位置を直す計算をしている。今見た −9.8 の平らな線は、その結果なんだ。

その通り。踏み切りの直前に重心の加速度が大きくプラスになっているのは、床を強く蹴って、床から上向きに押し返されているからだ。数の表から計算した加速度を見るだけで、「どこで力が働いているか」まで読み取れる。この旅では、この調べ方を何度も使うよ。