長さと角度を測る

前のステージでは、2つの点の差でベクトル（矢印）を作り、その長さを √(x²＋y²＋z²) で測った。今日は2本の矢印の間の角度を測る。たとえば右膝の角度だ。膝から腰（股関節）へ向かう矢印と、膝から足首へ向かう矢印、この2本の間の角が膝の角度になる。まっすぐ伸びていれば 180°、深くたたんでいれば小さい角度だ。

できる。まず2本の矢印を座標で表そう。どちらも膝から出る矢印だから、矢印の先の点の座標から、膝の座標を引けばいい。引く順番を逆にすると、矢印の向きが反対になってしまうので注意だ。そして、角度を測る道具が内積だ。2つのベクトルの同じ成分どうしを掛けて足したものを内積と決め、記号は a・b と書く。答えは矢印ではなく、ただの1つの数だ。

ある式を確かめると分かる。2本の矢印 a と b の先を結ぶ矢印は a−b だね。その長さの2乗 |a−b|² を、成分で書いて展開してみてくれないか。|a| は a の長さという意味だ。

そう。この式を「内積＝……」の形に直すと、a・b ＝ (|a|²＋|b|²−|a−b|²)÷2。右辺には長さしか出てこない。長さは、2本の矢印を形を変えずに丸ごと回したり動かしたりしても変わらない。だから内積も、図形を丸ごと回しても変わらない。ということは、いちばん計算しやすい向きに回してから計算してもいい。2本の矢印が作る平面を x と y の平面に重ね、a を x の向きにそろえてしまおう。a と b の間の角を θ とすると、a と b の成分はどうなる？

それが内積のいちばん大事な性質だ。逆に使えば、成分から内積と2つの長さを計算するだけで cos θ が分かる。cos θ から角度 θ に戻す計算は、関数電卓やコンピュータの arccos（アークコサイン）という機能がやってくれる。

cos 90°＝0 だからね。内積が 0 なら2本は直角、プラスなら鋭角、マイナスなら鈍角だ。もう1つ、図の点線に注目してほしい。a の長さが1のとき、a・b ＝ |b| cos θ は、b を a の向きへ落とした影の長さになる。たとえば x の向きの長さ1の矢印 (1, 0, 0) と点 p の内積は、p の x 座標そのものだ。座標とは、軸の向きの矢印との内積だと言い換えられる。この見方は、骨盤から見た座標（ステージ3）や、カメラに写す計算（ステージ9）でもう一度使う。

よし。膝から股関節へのベクトルを t（太もも）、膝から足首へのベクトルを s（すね）として、cos θ ＝ t・s ÷ (|t| |s|) から角度を出す。下の図でコマを動かしてごらん。

それが今日の2つ目の道具、外積だ。膝の角度が分かっても、膝がどちら向きに曲がっているかはまだ分からない。膝は蝶番（ちょうつがい）のように、決まった軸のまわりでしか曲がらない。その軸は、太ももとすねの両方に直角な向きだ。2本のベクトルの両方に直角な矢印を作る計算が外積で、記号は a×b と書く。内積と違って、答えはベクトルだ。

うまく確かめられたね。文字のまま a・(a×b) を展開しても、項が2つずつ打ち消し合ってぴったり 0 になる。外積にはあと2つ、大事な性質がある。長さは |a| |b| sin θで、これは a と b を2辺とする平行四辺形の面積に等しい。向きは右手の規則で決まる。右手の親指を a、人差し指を b の向きに合わせると、中指を立てた向きが a×b だ。だから順番を入れ替えると向きが逆になり、b×a ＝ −(a×b)。

その通り。そして、ここに落とし穴がある。外積の長さがほとんど 0 のときは、点の位置がほんの数 mm ずれるだけで、外積の向きがくるっと変わってしまう。長さ 1 m の棒の向きは少し押しても変わらないが、長さ 1 mm の棒は少し押しただけで反対を向くのと同じだ。

このアニメーションを作るとき、インパクトの瞬間に膝を伸ばし切る計算を、外積で求めた「膝の蝶番の軸」のまわりに、すねを回して行っていた。ところが脚がほぼ伸び切ったコマでは、その軸の向きが1コマおきに裏返ってしまい、つま先が1コマごとにジグザグに動くという不具合が出た。どう直したかはステージ5で話そう。今日の大事な点は、外積の向きは、外積が短いときには信用できないということだ。