回転を表す

チート900は、地面と空中を合わせて900°回る技だ。体全体を回したり、骨盤の向きを調べたり、脚だけを少し回したり――このアニメーションを作るときは「点を回す」計算を数えきれないほど使った。今日はその計算を整理する。まずは平面で、原点のまわりに点 (x, y) を角度 φ（ファイ）だけ反時計回りに回すと、どこへ行くかを考えよう。

よく覚えていたね。同じ式を、3次元にも広げられる別の見方で出し直そう。x の向きの長さ1の矢印 e_x＝(1, 0) と、y の向きの e_y＝(0, 1) を用意する。どんな点も、(x, y) ＝ x e_x ＋ y e_y、つまり「e_x の向きに x 歩、e_y の向きに y 歩」と書ける。図形を丸ごと回すと、この「歩き方」はそのままで、2本の矢印だけが回る。だから回した点は x×（回った e_x）＋ y×（回った e_y）だ。

この計算を短く書くために、回った矢印を縦に並べて箱にする。左の列が回った e_x、右の列が回った e_y だ。この数の箱を行列といい、回転を表すものを回転行列という。行列とベクトルの掛け算 R(x, y) は、「行列の各行と (x, y) の内積を、上から並べたもの」と決める。計算すると、さっきの答えそのものになる。

同じだ。3次元では軸の矢印が3本 e_x、e_y、e_z あるから、回った3本を列に並べた 3×3 の箱が回転行列になる。たとえば上向きの y 軸のまわりに φ 回すと――体が床の上でくるっと回る向きだね――y の矢印は動かず、x と z の矢印が床に平行な面の中で回る。行列の真ん中の列 (0, 1, 0) が「y の矢印は動かない」を表している。

その通り。そして、それがとても役に立つ。チート900の骨盤を考えよう。左の股関節から右の股関節へ向かう右向きの矢印 d、骨盤の上向きの矢印 u、そして2本に直角な前向きの矢印 f ＝ u×d（外積だ。順番を逆にした d×u だと、右手の規則で後ろ向きになる）。どれも長さを1にそろえ、お互いに直角になるようにしておく。この3本を並べた行列が、骨盤がどれだけ回っているかを表す回転行列になる。このように、体のある部分にくっついた3本の直角な矢印の組を座標系という。

「骨盤に乗って見ると、つま先はどこにあるか」が分かる。骨盤の中心 c からつま先 q への矢印を q−c とすると、骨盤から見た座標は (d・(q−c), u・(q−c), f・(q−c))。ステージ2で話した、内積は、長さ1の矢印の向きへの影の長さという性質を使っているんだ。下の図で、体が空中で回っても、骨盤から見た座標はあまり変わらないことを確かめてごらん。

そう。だから「脚の形」を扱いたいときは骨盤の座標系で考える。実際、このアニメーションでは、インパクトの前後で蹴り脚の形が崩れたとき、前の版の蹴り脚の形を骨盤から見た座標で取り出し、今の骨盤の向きに付け直すことで直した。骨盤から見た座標から床の座標に戻すときは、c ＋（d、u、f をそれぞれの成分倍して足したもの）、つまり回転行列を掛けて c を足せばいい。

いい質問だね。軸の向きを長さ1の矢印 k、回す角度を θ として、点（ベクトル）v を回すことを考えよう。コツは、v を軸に平行な部分と軸に直角な部分に分けることだ。軸に平行な部分は、軸への影だから内積で (k・v) k。直角な部分は、v からそれを引いた v_⊥ ＝ v − (k・v) k。軸のまわりに回すと、それぞれどうなると思う？

その通り。直角な部分 v_⊥ が回る円の平面には、v_⊥ 自身と、それに直角でちょうど90° 先にある矢印 k×v が乗っている。k×v は外積だから k にも v_⊥ にも直角で、長さは |k| |v_⊥| ＝ |v_⊥|、ちょうど同じ長さだ。だから平面の回転と同じように、θ 回った後は v_⊥ cos θ ＋ (k×v) sin θ。これに動かない平行な部分を足してまとめたものをロドリゲスの回転公式という。最後の項は、v_⊥ cos θ を v cos θ と (k・v)k cos θ に分けて、平行な部分とまとめたものだ。

3次元の回転の大事な性質だ。回す順番を入れ替えると結果が変わる。行列でいうと、「回転行列の掛け算は、順番を入れ替えると答えが変わる」ということになる。体全体の向きを少しずつ直す計算を重ねるときには、どの順番で掛けるかに気をつけないといけない。それから、3つの軸のまわりの角度（たとえば左右・上下・ひねり）で向きを表す方法もあるけれど、順番の問題と、ある向きのときに角度が1つに決まらなくなる問題があって、なめらかにつなぐのには向いていない。次のステージでは、それを解決する四元数を扱う。