向きをなめらかにつなぐ

アニメーションを作っていると、「2つの向きの途中の向き」がほしくなる場面がよくある。たとえば踏み切りの瞬間、床を離れる足の向きを、前のコマの向きから少し後のコマの向きへ、なめらかにつなぎたい。空中で体の向きが細かく揺れているのを、前後のコマの向きの平均でならしたい。向きは回転行列で表せるのだから、2つの行列の数を、ふつうの数のように平均すればいい――と思うだろう？

試してみよう。体を上向きの軸のまわりに 0° 回した向きと、180° 回した向きの「平均」を作る。0° の回転行列の左の列（x の矢印の行き先）は (1, 0, 0)、180° の回転行列の左の列は (−1, 0, 0) だ。平均すると？

180° ほど極端でなくても同じことが起きる。行列の数をそのまま混ぜると、3本の矢印が縮んだり、直角でなくなったりして、もう回転ではなくなる。体に当てはめると、体がつぶれたり、ゆがんだりする。下の図で「行列の数を混ぜる」を選んで確かめてごらん。

それを説明するために、まず平面の回転を思い出そう。『本当はおもしろい複素数の世界』で学んだように、平面の回転は、長さ1の複素数 cos φ ＋ i sin φ を掛けることだった。複素数は2つの数（実部と虚部）で1つの回転を表す。1843年、アイルランドの数学者ハミルトンは、これを3次元の回転に広げる数を考えた。i のほかに j と k という2つの「虚数」を加えて、w ＋ x i ＋ y j ＋ z k という4つの数の組を作り、i² ＝ j² ＝ k² ＝ ijk ＝ −1 という掛け算の決まりを置いた。これを四元数（しげんすう）という。

そう、ずっと少ない。軸の向きが長さ1の矢印 k ＝ (k_x, k_y, k_z)、回す角度が θ の回転は、次の四元数で表す。最初の数が w、残りの3つが x、y、z だ。4つの数の2乗の和を計算すると1になる。回転を表す四元数は、いつも「長さ」が1になる。

四元数で点（ベクトル v）を回すときは、v を四元数 (0, v_x, v_y, v_z) とみなして、q v q* と、左から q、右から q* を掛ける（q* は、x・y・z の符号を反対にした四元数）。ちょうど両側から挟むので、それぞれが角度の半分ずつ受け持って、合わせて θ 回る。計算すると、ステージ3のロドリゲスの公式と同じ答えになる。下の図でも確かめられるよ。

半分の角度を使うから、角度が 360° 増えると cos と sin の中身は 180° 増えて、4つの数の符号がそろって反転する。つまりq と −q は、まったく同じ向きを表す。1つの向きに、2つの名前があるんだ。

平均を作るときに困る。向き A を q、向き B を q' とし、2つがほとんど同じ向きだとしよう。もし B のほうを −q' という名前で持っていたら、q と −q' はほとんど正反対の4つの数だから、足して2で割ると 0 に近くなってしまう。だから平均や途中を作る前に、2つの四元数の4次元の内積（4つの数を掛けて足したもの）を調べ、マイナスなら片方の符号を反転してから混ぜる。このアニメーションで空中の体の向きの揺れをならしたときも、コマごとの四元数を、前のコマとの内積がプラスになるようにそろえてから平均している。

いいところに気づいたね。長さ1の四元数は、すべて「4次元の空間の、半径1の球面」の上にある。4つの数をそのまま平均すると、点は球面の内側にもぐって長さが1より短くなるが、長さで割って1に戻せば、ちゃんと回転を表す。行列とちがって、四元数は「縮んだら長さを1に戻す」だけで直せるんだ。さらに丁寧なのが slerp（スラープ）で、2つの点を結ぶ球面上のいちばん短い道（大円の弧）に沿って、一定の速さで進む。q₀ と q₁ の4次元の内積を cos Ω とすると、割合 t の途中は次の式で表せる。t＝0 なら q₀、t＝1 なら q₁ になり、その間は等しい角度ずつ回っていく。

その通り。まとめると、向きを扱うときは計算や表示には回転行列、混ぜたりならしたりするには四元数、と使い分けるといい。行列と四元数は、いつでもお互いに変換できる。このアニメーションでは、踏み切りで床を離れる足の向きを slerp でつなぎ、空中の体の向きの揺れを、符号をそろえた四元数の平均でならしている。