膝の置き場所

アニメーションを作るとき、「足をここに置きたい」と先に決めることがよくある。床に着いている足は、前のコマと同じ場所から動かしてはいけない（動くと床の上を滑って見える）。蹴りの瞬間には、つま先をミットの位置に届かせたい。足の位置を決めたら、それに合わせて膝の位置を計算で決め直す。このように、手先や足先の位置から関節の位置を逆に求める計算を、逆運動学（インバース・キネマティクス、IK）という。股関節・膝・足首の2つの関節でつながった脚なら2関節IKだ。

そうだ。股関節を H、足首を A、太ももの長さを L₁、すねの長さを L₂ としよう。H から L₁ の点の集まりは、H を中心とする球。A から L₂ の点の集まりは、A を中心とする球。膝は、この2つの球が交わる所にある。2つの球が交わると、どんな形になると思う？

その通り。H と A を結ぶ線を軸にした円になる。この円の中心と半径を求めよう。H と A の距離を d とする。膝 K から H と A を結ぶ線へ垂直に線を下ろし、その足を M とする。H から M までの長さを x、M から膝までの高さを h とすると、直角三角形が2つできる。三平方の定理で式を2つ書いてごらん。

見事だ。これで、膝が乗る円の中心は H から A の向きへ x 進んだ点 M、半径は h と分かった。H から A へ向かう長さ1の矢印を u とすると、M ＝ H ＋ x u。膝は M から、u に直角な向きへ h 離れた所にある。でも、u に直角な向きはぐるっと一周いくらでもある。円の上のどこに膝を置くかは、まだ決まっていない。

そう、その「膝を出したい向き」を矢印で与える。これをポール（極）と呼ぶことが多い。ポールの矢印から、u の向きの成分（内積で取り出せる）を引いて u に直角にし、長さを1にそろえたものを p とすれば、膝は1点に決まる。ふつうは、ポールとしてそのコマの膝の向き（今の膝の位置から作る）を使う。

そうだ。そのときは脚をまっすぐ伸ばすしかないが、それでも足首には届かない。床に着いている足でこれが起きると、足が床から浮いたり、床の上を滑ったりしてしまう。このアニメーションを動画に合わせたときにも、体の位置を動かしたせいで、床に着いている足に脚が届かないコマが出た。そこでは体のほうを、足が届く所まで寄せることで直している。

鋭いね。今の膝の位置からポールを作ると、それは「H と A を結ぶ線から膝へ向かう矢印」になる。脚がほぼ伸び切っていると、この矢印はとても短い。ステージ2で見た外積と同じで、短い矢印の向きは、点が数 mm ずれるだけで大きく変わる。実際にこのアニメーションでは、インパクトの瞬間に膝を 177° まで伸ばそうとしたとき、膝の曲がる向き（外積で求めた蝶番の軸）が1コマおきに裏返り、つま先が1コマごとにジグザグに動いてしまった。下の図はそれを再現したものだ。

直し方は2つ使った。1つは、膝がはっきり曲がっているコマで求めた向きを、伸び切ったコマへ引き継ぐこと。伸び切ったコマの前後で向きをなめらかにつなぎ、裏返ったら向きを反対にそろえる。もう1つは、蹴り脚の形そのものを、問題のなかった前の版の形（骨盤から見た座標で取り出したもの）に戻すことだ。どちらも「不安定な所では、その場の計算に頼らず、安定な所の情報を使う」という考え方だね。

その通りで、それも確かめている。すねの前の向き（膝が曲がる向き）とつま先の向きのずれは、ふつう 30° 前後までだ。このアニメーションでは一時期、踏み切りの直後に膝の曲がる向きが、つま先に対してぐるっと一周してしまうコマがあった。ずれの角度を内積で毎コマ計算して、大きすぎるコマを見つけ、足の向きや膝の位置を直した。IK は位置だけでなく、向きの約束も守らないと、人の体にならないんだ。