空中の重心

ステージ1で、空中では「体全体の重さで平均した位置」、つまり重心が、重力加速度 9.8 m/s² で落ちることを確かめた。今日は、その重心をどう計算するか、そして空中で重心が描く放物線を、どうやってアニメーションに守らせたかを話そう。まずは簡単な例からだ。長さ 3 m の軽い板の左はしに 2 kg、右はしに 1 kg のおもりを載せる。どこを支えればつり合うと思う？

その通り。この式を一般の形に直してみよう。重さ m₁ のおもりが位置 x₁、重さ m₂ が位置 x₂ にあるとき、つり合う位置 X は、左右の「重さ × 支点からの距離」が等しいという式から出る。「位置に重さを掛けて足し、重さの合計で割る」。これを重みつき平均といい、つり合う点が重心だ。おもりがいくつあっても、3次元でも、x・y・z それぞれで同じ計算をすればいい。

そうだ。このアニメーションでは、体を胴・頭・太もも・すね・足・上腕・前腕・手に分け、それぞれの重さの割合を、人の体を測った研究の値に近いものにしている。胴が 43、頭が 8、太ももが片方 10、すねが 4.5、足が 1.5、上腕が 2.8、前腕が 1.6、手が 0.6 という割合だ。それぞれの部分の位置は、骨の両はしの真ん中（胴は両肩と両股関節の4点の平均）とする。下の図で、体の形が変わると重心がどこへ動くか見てごらん。

走り高跳びの背面跳びでは、体を大きく反らせて重心をバーの下に通すことさえある。さて、ここからが本題だ。空中では、重心はどんな道すじを通るだろう。ステージ1で見たことを思い出してごらん。

そう。離陸の瞬間の重心の高さを y₀、上向きの速さを v₀ とすると、t 秒後の上向きの速さは v₀ − 9.8t。速さが一定の割合で変わるとき、進む距離は「最初と最後の速さの平均 × 時間」で出せる。水平は速さが一定だ。この2つを合わせた道すじが放物線だ。手足をどう動かしても、重心はこの放物線から外れられない。

いいね。ところで、アニメーションを作っていると、手足の形を直したり、動画に合わせたりするたびに、空中の重心がこの放物線から少しずつずれてしまう。そこで毎回、放物線に戻す計算をした。離陸のコマの重心と、着地のコマの重心は、床の動きとつながっているので動かせない。空中の時間を T とすると、この2点を通る放物線は1本に決まる。

ふつうの放物線ならそうだ。でも今は、t² の前の数が −4.9 と決まっている。決まっていないのは v₀ と水平の速さだけだ。着地の高さ y₁ ＝ y₀ ＋ v₀T − 4.9T² から、v₀ ＝ (y₁ − y₀ ＋ 4.9T²) ÷ T。水平の速さは (着地の位置 − 離陸の位置) ÷ T。どちらも1つに決まるから、放物線も1本に決まる。あとは空中の各コマで、重心を放物線の上へ戻すように、体全体を平行移動する。体の形は変えないから、手足の動きはそのままだ。

だからこそ、どれだけ高く跳べるかは、離陸の瞬間にもう決まっている。いちばん高い所では上向きの速さが 0 になるから、その時刻と高さが計算できる。このチート900は、上向き約 2.6 m/s、水平 約 1.8 m/s で離陸して、重心は約 0.35 m 上がり、約 0.52 秒で着地する。その間に水平に約 0.93 m 進む。

大いに関係がある。上向きの速さは、最後の一歩で床を強く蹴って作るが、それまでのステップで体がもっている前向きの勢いも、踏み込んだ脚で上向きに変えて使う。ステップがゆっくりだと、その勢いが足りず、見た人に「あれでは跳べない」と感じさせる。そこで、構えから踏み切りまでの時間を詰めて、ステップ中の重心の速さを毎秒約 1.3 m から約 2 m に上げた。空中の放物線は変えずに、地面の上の動きだけを速くしたんだ。