縮めると速く回る

前のステージで、空中では重心が放物線から外れられないことを確かめた。今日は回転の話だ。チート900は、空中で体を大きくひねりながら蹴る。空中では床を押せないのに、なぜ回り続けられるのか。そして、なぜ脚を伸ばした瞬間に回転がゆっくりになるのか。フィギュアスケートで、腕を広げてゆっくり回っていた選手が、腕を胸に引き寄せると急に速く回るのを見たことがあるかい？

その「不思議」を数で説明しよう。まず、重さ m のおもりが、軸から距離 r の所を回っているとする。1秒に回る角度を角速度 ω（オメガ）という。角度をラジアン（半径と同じ長さの弧に対する角度。1回転が 2π ≈ 6.28）で測ると、おもりの速さは v ＝ rω だ。このとき、次の角運動量を「回る勢い」と考える。外から回す力（トルク）がはたらかないと、L は変わらない。これを角運動量の保存という。

その通り。かっこの中（Σ は「全部足す」という記号）を慣性モーメントという。回しにくさを表す数だ。L が変わらないなら、回る速さは L を I で割ったものになる。I が半分になれば ω は2倍になる。r が2乗で効くことに注意してほしい。腕を半分の距離まで引き寄せると、その腕の m r² は4分の1になる。下の図で試してごらん。

では、チート900のデータで確かめよう。体の各部分を、前のステージの重心の計算と同じ重さの割合のおもりとみなし（体重は 60 kg とした）、重心を通る縦の軸のまわりの I と L を毎コマ計算した。各部分の速さは、前後のコマの位置の差から出す。

L のほうは、空中で 16〜21 くらいの間にある。本当なら一定のはずだが、体を棒とおもりで大まかに表していることや、動画に合わせて形を直したことで、少し揺れが残っている。アニメーションを作るときは、空中で L が大きく変わらないように直す計算も入れた。地面にいる間は、床を足でねじって L を増やしたり減らしたりできる。離陸前の踏み込みで L を作り、空中ではそれを使って回るだけなんだ。

よいところに気づいたね。実は、回しにくさはどの軸のまわりに回すかで変わる。鉛筆を思い浮かべてごらん。長い向きを軸にして指でくるくる回すのは簡単だが、真ん中をつまんで端と端が円を描くように回すのは、ずっと回しにくい。軸の向きを長さ1のベクトル n で表すと、その軸のまわりの I は、各おもりについて「軸からの距離の2乗」を足したものだ。重心からおもりへのベクトルを r とすると、軸からの距離の2乗は、ステージ2の内積で r のうち軸に沿った部分を引いたものだ。これを整理すると、3×3の表 𝐈 を使って書ける。E は対角に1が並ぶ3×3の表（単位行列）、r rᵀ は r の成分どうしを掛けた3×3の表だ。この 𝐈 を慣性テンソルという。

そう読めばいい。3×3の表をひとつ作っておけば、どの向きの軸についても、掛け算と内積だけで回しにくさが出る。表の対角に並ぶ3つの数は、x 軸・y 軸・z 軸のまわりの I そのもの。対角以外の数は、体が斜めに広がっているときに 0 でなくなる。そして、対角以外がちょうど 0 になる3つの直交する軸を必ず見つけられる。それを主軸という。主軸のまわりでは、回す勢いの向きと回る向きがそろうが、それ以外の軸では L ＝ 𝐈ω の L と ω の向きがずれて、回転がぶれていく。

そうだ。さて最後に、720 と 900 の違いを考えよう。技の名前の数は、体が回る角度の合計だ。900 は 720 より 180°、つまり半回転多く回る。地面の上で回る角度が同じなら、その 180° は空中で余分に回らなければならない。空中で回る角度は、毎コマの ω を足し合わせたもの、つまり「L ÷ I を時間で足したもの」だ。このチート900は、空中の約 0.52 秒で約 410° 回っている。

その通り。でも蹴るためには脚を伸ばさなければならず、伸ばせば I は大きくなる。下の図は、空中を「縮めている時間」と「脚を伸ばして蹴っている時間」の2つに分けた簡単なモデルだ。縮めているときの I を 1.1、伸ばしているときを 2.8 とした。踏み込みでどれだけ L を作れるか、どこまで縮めていられるかで、空中で回れる角度が決まる。